Os livrões nos dizem que um NÚMERO PRIMO é um número natural maior
do que 1 cujos únicos divisores positivos são 1 e ele mesmo. Todos os
outros são chamados de números compostos. É preciso destacar que o
número zero não é primo e nem composto.
Neste caso, um número inteiro maior do que 1 é chamado de
primo se seus únicos divisores (fatores) positivos forem 1 e ele
próprio. Os primeiros números primos são 2, 3, 5, 7, 11 e 13. O único
número primo par é o 2, todos os outros são ímpares.
O Teorema Fundamental da Aritmética diz que todos os números
inteiros positivos podem ser fatorados (divididos) em um produto único
de números primos. Por exemplo, os divisores primos de 10 são 2 e 5.
Isto é o mesmo que dizer que todos os números compostos são compostos por uma múltiplicação única de números primários, os números primos.
Um número inteiro positivo p, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em fatores p=ab, nenhum dos quais sendo 1 ou -1.
Se p é um número primo e p dividir o produto dos inteiros ab, então p divide a ou p divide b. Esta proposição é conhecida como lemma de Euclides.
Se p é primo e a um número inteiro qualquer, então ap – a é divisível por p. Este é o Pequeno Teorema de Fermat. Por exemplo, 63 – 6 = 210 e 210 é divisível por 3. O interessante é que, se a potência não for um número primo, esta afirmação não necessariamente se confirma.
Se p
é um número primo diferente de 2 e 5, 1/p é sempre uma dízima periódica
com um período p-1 ou um divisor de p-1. Neste caso, também entra o
Pequeno Teorema de Fermat. Por exemplo, 1/7 = 0.142857 142857…, uma
dízima periódica com um período de seis algarismos (142857).
No caso da propriedade anterior, se trocarmos a base numérica decimal para outra qualquer q, se p não for um fator primo de q, a propriedade se mantém.
Um número inteiro p > 1 é primo se, e somente se o fatorial (p – 1)! + 1 for divisível por p. Este é o Teorema de Wilson, e o inverso também é verdadeiro. Por exemplo, (5 – 1)! + 1 = (4x3x2x1) + 1 = 24 + 1 = 25. Como 25/5 = 0, então 5 é um número primo. Por outro lado, (4 – 1)! + 1 = (3x2x1) + 1 = 6 + 1 = 7. Como 7/4 = 1.75 (não é uma divisão exata), então 4 não é um número primo.
O Postulado de Bertrand diz que, se n é um número inteiro positivo, então sempre existe um número primo p com n < p <= 2n. Por exemplo, se n = 4, então 2n = 8. No intervalo entre 4 e 8 sempre existe um número primo que, no caso, é 5.
Para cada um dos números primos p > 2 existe sempre um número natural n de modo que p = 4n ± 1. Por exemplo, se p = 13, então existe um número n de modo que p = 4n + 1 ou que p = 4n – 1. Neste caso, n = 3 pois 13 = 4 x 3 + 1 = 12 + 1 = 13.
Da mesma forma, para cada número primo p > 3 existe sempre um número natural n de modo que p = 6n ± 1.
TIPOS DE NÚMEROS PRIMOS
Existem alguns tipos especiais de números primos, dos quais os mais conhecidos são:
Primos de Mersenne: têm a forma 2n – 1. Observe
que os últimos maiores primos encontrados são deste tipo. Isto se deve
ao fato de que existe um teste de primalidade muito eficiente para este
tipo de primo, o teste de Lucas-Lehmer para Primos Mersenne.
Primos de Fermat: têm a forma 22n + 1.
Primos Sophie Germain: são os números primos p onde 2p + 1 também é um número primo.
Primos de Wieferich: são números primos p onde p2 divide 2p – 1 – 1. Foram descritos por Wieferich em 1909 e existem apenas dois conhecidos: 1093 e 3511.
Primos de Wilson: são os primos p onde p2 divide (p – 1)! + 1. Os únicos conhecidos são 5, 13 e 563.
Primos Fatoriais: têm a forma n!
± 1. n! – 1 é primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, … e
n! + 1 é primo para n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, …
ONDE ENCONTRAR NÚMEROS PRIMOS ENORMES
Para encontrar listas sempre atualizadas com os maiores números primos, visite o site da GIMPS – Great Internet Mersenne Prime Search, iniciado por Woltman no início de 1996.
Os números estão classificados por tipo de primo, o site está sempre
atualizado e oferece um mundo de informações a respeito de números
primos.
De acordo com o número de dígitos, os primos receberam nomes especiais:
Primos titânicos
Nos anos 80, Samuel Yates iniciou uma lista dos “Maiores Primos
Conhecidos” e criou o nome primo titânico para designar qualquer número
primo com 1.000 ou mais dígitos. Denominou também de titãs aqueles que
provaram a primalidade destes números.
Hoje em dia, uma infinidade de primos titânicos são conhecidos.
Entretanto, na época em que Yates definiu os primos titânicos, tinha-se
conhecimento de apenas alguns poucos.
Primos gigantes
Cerca de dez anos mais tarde, Yates designou como primo gigante todo
número primo que possuísse 10.000 ou mais dígitos. Nos anos 90 estes
primos eram bastante raros. Atualmente, vários deles são conhecidos.
Megaprimos
Megaprimos são números primos que possuem no mínimo um milhão de
dígitos. Vários são conhecidos (quando pesquisei pela primeira vez em
