BINÔMIO DE NEWTON – Parte 1

Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)ⁿ , sendo n um número natural .

Exemplo: 

B = (3x – 2y)⁴ ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).

Nota 1:

Isaac Newton – físico e matemático inglês(1642 – 1727). 

Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia Mathematica, escrita em 1687.

Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :

a) (a + b)² = a² + 2ab + b²

b) (a + b)³ = a³ + 3 a²b + 3ab² + b³

c) (a + b)⁴ = a⁴ + 4 a³b + 6 a²b² + 4ab³ + b⁴

d) (a + b)⁵ = a⁵ + 5 a⁴b + 10 a³b² + 10 a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Nota 2:

Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:

Vamos tomar por exemplo, o item (d) acima:

Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5.

A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:

Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos: 

5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.

Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a³b² (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu  de 1 para 2).

Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)⁷ será:

(a + b)⁷ = a⁷ + 7 a⁶b + 21 a⁵b² + 35 a⁴b³ + 35 a³b⁴ + 21 a²b⁵ + 7 ab⁶ + b⁷

Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a²b⁵) ?

Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5. 

Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.

Observações:

1) o desenvolvimento do binômio (a + b)ⁿ é um polinômio.

2) o desenvolvimento de (a + b)ⁿ possui n + 1 termos .

3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no desenvolvimento de 

(a + b)ⁿ são iguais .

4) a soma dos coeficientes de (a + b)ⁿ é igual a 2ⁿ .

Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton

Um termo genérico T_p+1 do desenvolvimento de (a+b)ⁿ , sendo p um número natural, é dado por

onde

é denominado Número Binomial e C_n.p é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p. 

Este número é também conhecido como Número Combinatório.