Uma expressão algébrica envolvendo somente potências não-negativas de uma ou mais
variáveis e não contendo variáveis no denominador, é chamada polinômio.
Por
exemplo:
2x
x2–3x+1
são polinômios na
variável x.
Exemplos de
polinômios nas variáveis x e y são
2x3y2
5x3–8y
Um termo de um polinômio é uma constante, ou uma constante
multiplicada por potências não negativas das variáveis. Um polinômio pode ser
considerado como uma soma de um número finito de termos. Por exemplo, no polinômio identificamos três termos: 2x3 , e 5. Além disto, os números 2, e 5 são os coeficientes
do polinômio, x é a variável e seu grau é três.
Termos que
diferem apenas pelo valor de seus coeficientes constantes são chamados termos
semelhantes. Por exemplo, 5x2 e –2x2
são termos semelhantes.
Um polinômio
pode ser denominado de acordo com o seu número de termos, isto é, um polinômio de um
termo pode ser chamado monômio; de dois termos, binômio e de três termos,
trinômio.
Como as
variáveis usadas nos polinômios representam números reais, todas as operações entre
polinômios são fundamentadas pelas propriedades dos números reais.
Alguns
resultados da multiplicação de duas expressões algébricas são particularmente
importantes para a matemática.
Estes
resultados são chamados Produtos Notáveis. Destacamos:
(a + b)2
= a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3– 3a2b + 3ab2 – b3
As identidades acima, por um lado, fornecem resultados imediatos para as multiplicações
indicadas e, por outro, podem ser consideradas maneiras abreviadas de representar alguns
polinômios.
Assim, por exemplo, o produto notável (x + 3)2 resulta em x2
+ 6x + 9. Equivalentemente, (x + 3)2 é uma forma abreviada
de representar o polinômio x2 + 6x + 9. Dizemos que (x
+ 3)2 é a forma fatorada do polinômio x2 +
6x + 9.
Assim, como
fatorar um número é escrevê-lo como produto de outros números, também, fatorar
uma expressão algébrica é escrevê-la como produto de outras expressões algébricas.
Nomeamos, a seguir, os casos
mais importantes de Fatoração, seguidos de exemplos ilustrativos.
Fator Comum
em Evidência
2xy – 6x = 2x(y
– 3)
2x = termo
colocado em evidência
(y – 3) = quociente de cada termo da expressão pelo fator comum.
Outro exemplo:
10a4b – 5a3b
+ 15a2b2 = 5a2b(2a2
– a + 3b)
Assim, 5a2b(2a2 – a + 3b)
é a forma fatorada de 10a4b – 5a3b
+ 15a2b2.
Agrupamento
ax + ay + bx
+ by = (ax + ay)(bx + by) – Agrupamos os
termos que têm fator comum
= a(x + y) + b(x + y) –
Colocamos em evidência os fatores comuns a e b
= (x + y)(a + b) – Colocamos em evidência o fator
comum (x + y)
Outro exemplo:
x3
+ x2 + x + 1 = (x3 + x2)
+ (x + 1)
= x2(x + 1) + (x + 1)
= (x + 1)(x2 + 1)
Assim, (x + 1)(x2 + 1) é uma forma fatorada de x3
+ x2 + x + 1.
Trinômio
Quadrado Perfeito
a2
+ 2ab + b2 = (a + b)2
Veja que o trinômio é quadrado perfeito pois um de seus termos (2ab)é o
dobro do produto das raízes quadradas dos outros dois. ( e ).
De forma análoga:
a2
– 2ab + b2 = (a – b)2
Outros exemplos:
A forma fatorada de x2 + 6x
+ 9 é (x + 3)2
A forma fatorada de é .
Diferença
de dois Quadrados
a2
– b2 = (a + b)(a – b)
Outros exemplos:
A forma fatorada de x2 – 9
é (x – 3)(x + 3).
é a forma fatorada de .
Observações:
Certas expressões admitem a
aplicação sucessiva de mais de uma caso de fatoração. Por exemplo: Ao fatorar a
expressão 3a2– 3m2 podemos colocar em
evidência o fator comum 3 obtendo, assim, 3(a2 – m2).
Esta, por sua vez, apresenta o fator (a2 – m2)
que é uma diferença entre dois quadrados. Portanto, a forma fatorada de 3a2
– 3m2 é 3(a – m)(a + m).
De forma semelhante, para fatorar as expressões seguintes, também são usados dois ou
mais casos de fatoração:
x4
– y4 = (x2 + y2)(x2
– y2)
=(x2
+ y2)(x – y)(x + y)
x2
+2xy + y2 –1 = (x2 +2xy + y2)
– 1
= (x + y)2 – 12
= [(x + y) –1][(x + y) + 1]
= (x + y –1)(x + y + 1)
A fatoração é de fundamental
importância para a simplificação de expressões, principalmente das funções
algébricas. Simplificar uma fração algébrica significa encontrar a fração
equivalente a ela, na forma mais simples. Esta redução é obtida pela fatoração do
numerador e do denominador, cancelando-se os fatores comuns e impondo-se a condição de
que os mesmos não sejam nulos. Enfatizamos que “cancelar” os fatores comuns do
numerador e do denominador significa dividi-los por aquele fator. Por exemplo:
com x + y ¹ 0 e x – y ¹ 0
Sejam a Î R
e bÎ R*, é válido que :
A fatoração é necessária também
para a determinação de mínimo múltiplo comum de denominadores na adição e
subtração de frações algébricas, bem como na simplificação dos resultados obtidos.
Exemplos: Vamos efetuar as operações indicadas pelas expressões algébricas a seguir.
y 
identificamos três termos: 2x3 , 
e 5. Além disto, os números 2, 
e 5 são os coeficientes
e 
).
é 
.
é a forma fatorada de 
.
