GEOMETRIA PLANA

A Geometria Plana está apoiada sobre alguns

postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições

e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema.

Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve

aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!

CONHEÇA A GEOMETRIA PLANA

Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de

figuras, da forma como é usual na Geometria Euclidiana, é necessário

obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem esta compreensão,

parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um

triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver o

professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja

também isósceles. Só após o conhecimento de algumas propriedades das

figuras é que os alunos compreenderão as vantagens de optar por uma

classificação.  

Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado

apenas por uma razão de “arrumação”.   

Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos

de reta que forma uma linha poligonal fechada.

GEOMETRIA PLANA

A Geometria permite que façamos uso dos conceitos

elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos

especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos,

médias, centros de gravidade de objetos, etc.

POLÍGONO

Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de

reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são

denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados

vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes

tratada como se fosse o próprio polígono.

TRIÂNGULOS  

Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os

triângulos de duas maneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos.

Quanto aos lados:  

Equilátero – todos os lados iguais  

Isósceles – dois lados iguais

Escaleno – todos os lados diferentes

Quanto aos ângulos:  

Acutângulo – Um ângulo agudo

Obtusângulo – Um ângulo obtuso 

Retângulo – Um ângulo reto

Algumas propriedades:   

– Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são

opostos também são iguais.   

– Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se

ângulos iguais.  

– Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se

lados iguais.  

– Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo

Os triângulos podem ser classificados em diversos tipos de acordo com

seus lados(Eqüiláteros – Possuem três lados de mesmo comprimento,

Isósceles – possuem dois lados de mesmo comprimento e Escalenos –

possuem três lados de comprimentos diferentes) ou quanto a seus

ângulos(Retângulos – possuem um ângulo de 90° graus, também chamado

ângulo reto, Obtusângulos – possuem um ângulo obtuso, ou seja, um

ângulo com mais de 90°, Acutângulos – possuem três ângulos agudos, ou

seja, menores do que 90°). Polígonos são definidos como a figura

formada po um número n maior ou igual a 3 de pontos ordenados de forma

que três pontos consecutivos sejam não colineares.

Um exemplo de polígono de 3 lados é um triângulo. Os polígonos

possuem denominações particulares para enes diferentes:n=3 – triângulo,

n=4 – quadrilátero, n=10 – decágono, n=20 – icoságono). Estas

denominações são derivadas dos nomes dos números em grego. Outra forma

importante da geometria plana é a circunferência definida como sendo o

conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo

desse plano é uma constante positiva. Chamamos de círculo ao conjunto

de uma circunferência e seus pontos internos. Existem também certos

casos especiais para quadriláteros como definiremos a seguir: é dado o

nome de trapézio a um quadrilátero que possui dois lados paralelos.

Para o caso dos lados não paralelos serem congruentes dá-se a este

trapézio o nome de trapézio isósceles, para o caso de lados não

paralelos não congruentes é dado o nome de trapézio escaleno, e um

trapézio que possui um lado perpendicular as bases é chamado trapézio

retângulo. Paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos

paralelos. Retângulo possui quatro ângulos congruentes entre si. O

losango possui quatro lados congruentes entre si, e finalmente o

quadrado que possui 4 lados e quatro ângulos congruentes entre si.

Polígono convexo: É um polígono construído de modo que

os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura

original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o

segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente

contido no polígono.

Polígono	No. de lados	Polígono	No. de lados
Triângulo	3	Quadrilátero	4
Pentágono	5	Hexágono	6
Heptágono	7	Octógono	8
Eneágono	9	Decágono	10
Undecágono	11	Dodecágono	12

Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois

pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades,

contiver pontos que estão fora do polígono.

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes

quando têm as mesmas medidas.

Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados

opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:

Os lados opostos são congruentes;

Os ângulos opostos são congruentes;

A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;

As diagonais cortam-se ao meio.

Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro

lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.

Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos

retos e dois pares de lados paralelos.

Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo

um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma

medida e também quatro ângulos retos.

Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados

opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e

base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios

dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu

comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior

e menor do trapézio.

Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são

congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados

congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo

isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.

“Pipa” ou “papagaio”: É um quadrilátero que tem dois pares de lados

consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.

Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e

que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.

CONHEÇA A GEOMETRIA PLANA

Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de

figuras, da forma como é usual na Geometria Euclidiana, é necessário

obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem esta compreensão,

parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um

triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver o

professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja

também isósceles. Só após o conhecimento de algumas propriedades das

figuras é que os alunos compreenderão as vantagens de optar por uma

classificação.  

Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado

apenas por uma razão de “arrumação”.   

Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos

de reta que forma uma linha poligonal fechada.