NÚMEROS COMPLEXOS

Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b²– 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0).

Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R).

A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e

Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica

num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que

representamos por C.

Números Complexos

Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:

z = (x,y)

onde x pertence a R e y pertence a R.

Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:

z=(x,y)=x+yi

Exemplos:

(5,3)=5+3i

(2,1)=2+i

(-1,3)=-1+3i …

Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:

x=Re(z, parte real de z

y=Im(z), parte imaginária de z

Igualdade entre números complexos

Dois

números complexos são iguais se, e somente se, apresentam

simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁=z₂<==> a=c e b=d

Adição de números complexos

Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁+z₂=(a+c) + (b+d)

Subtração de números complexos

Para subtrairmos dois números complexos basta

subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses

números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁-z₂=(a-c) + (b-d)

Potências de i

Se, por definição, temos que i = – (-1)^1/2, então:

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = -1

i³ = i².i = -1.i = -i

i⁴ = i².i²=-1.-1=1

i⁵ = i⁴. 1=1.i= i

i⁶ = i⁵. i =i.i=i²=-1

i⁷ = i⁶. i =(-1).i=-i ……

Observamos que no desenvolvimento de iⁿ (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos iⁿ basta calcularmos i^r onde r é o resto da divisão de n por 4.

Exemplo:

i⁶³ => 63 / 4 dá resto 3, logo i⁶³=i³=-i

Multiplicação de números complexos

Para multiplicarmos dois números complexos basta

efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores

das potência de i. Assim, se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁.z₂ = a.c + adi + bci + bdi²

z₁.z₂= a.c + bdi² = adi + bci

z₁.z₂= (ac – bd) + (ad + bc)i

Observar que : i²= -1

Conjugado de um número complexo

Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z^–) ==> z^–= a-bi

Exemplo:

z=3 – 5i ==> z^– = 3 + 5i

z = 7i ==> z^– = – 7i

z = 3 ==> z^– = 3

Divisão de números complexos

Para dividirmos dois números complexos basta

multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do

denominador. Assim, se z₁= a + bi e z₂= c + di, temos que:

z₁ / z₂ = [z₁.z₂^–] / [z₂z₂^–] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]

Módulo de um número complexo

Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a²+b²)^1/2, conhecido como ro

Interpretação geométrica

Como dissemos, no início, a interpretação

geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo.

Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira

Forma polar dos números complexos

Da interpretação geométrica, temos que:

que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.

Operações na forma polar

Sejam z₁=ro₁(cos t₁₁)

e z₂=ro₁(cos t₁+i sent₁). Então, temos que:

a)Multiplicação

Divisão

Potenciação

Radiciação

para n = 0, 1, 2, 3, …, n-1

Exercícios Resolvidos

1 – Sejam os complexos z₁=(2x+1) + yi e z₂=-y + 2i

Determine x e y de modo que z₁ + z₂ = 0

Temos que:

z₁ + z₂ = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0

logo, é preciso que:

2x+1 – y =0 e y+2 = 0

Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

2 – Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro

Efetuando a multiplicação, temos que:

z = x + (x+2)i + 2i²

z= (x-2) + (x+2)i

Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2

3 – Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?

Efetuando a divisão, temos que:

z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58

O conjugado de Z seria, então z^– = 11/58 – 13i/58

4 – Os módulos de z₁ = x + 20^1/2i e z₂= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?

Então, |z₁= (x² + 20)^1/2 = |z₂ = [(x-2)² + 36}^1/2

Em decorrência,

x² + 20 = x² – 4x + 4 + 36

20 = -4x + 40

4x = 20, logo x=5

5 – Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i

Efetuando-se a divisão, temos:

z = [(1+i). -i] / -i² = (-i -i²) = 1 – i

Para a forma trigonométrica, temos que:

r = (1 + 1)^1/2 = 2^1/2

sen t = -1/2^1/2 = – 2^1/2 / 2

cos t = 1 / 2^1/2 = 2^1/2 / 2

Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º

Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:

z = r(cos t + i sen t), temos que:

z = 2^1/2 ( cos 315º + i sen 315º )